Question

某地正處于地震帶上，預(yù)計(jì)20年后該地將發(fā)生地震．當(dāng)?shù)貨Q定重新選址建設(shè)新城區(qū)，同時(shí)對(duì)舊城區(qū)進(jìn)行拆除．已知舊城區(qū)的住房總面積為64am²，每年拆除的數(shù)量相同；新城區(qū)計(jì)劃第一年建設(shè)住房面積am²，開(kāi)始幾年每年以100%的增長(zhǎng)率建設(shè)新住房，從第五年開(kāi)始，每年新建的住房面積都比上一年新建的住房面積增加am²．設(shè)第n（n≥1，且n∈N）年新城區(qū)的住房總面積為a_nm²，該地的住房總面積為b_nm²．
（1）求a_n；
（2）若每年拆除4am²，比較a_n+1與b_n的大�。�

Answer 1

分析：（1）設(shè)第n年新城區(qū)的住房建設(shè)面積為c_nm²，則由題意，可得當(dāng)1≤n≤4時(shí)，cn=2n-1a；當(dāng)n≥5時(shí)，c_n=（n+4）a，由此可得結(jié)論；
（2）確定數(shù)列的通項(xiàng)，分類作差比較，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)第n年新城區(qū)的住房建設(shè)面積為c_nm²，則
當(dāng)1≤n≤4時(shí)，cn=2n-1a；當(dāng)n≥5時(shí)，c_n=（n+4）a．
所以，當(dāng)1≤n≤4時(shí)，an=(2n-1)a；
當(dāng)n≥5時(shí)，a_n=a+2a+4a+8a+9a+…+（n+4）a=

n2+9n-22

2

a．
故an=

(2n-1)a(1≤n≤4) n2+9n-22 2 a(n≥5).

．（6分）
（2）1≤n≤3時(shí)，an+1=(2n+1-1)a，bn=(2n-1)a+64a-4na，顯然有a_n+1＜b_n．
n=4時(shí)，a_n+1=a₅=24a，b_n=b₄=63a，此時(shí)a_n+1＜b_n．
5≤n≤16時(shí)，an+1=

n2+11n-12

2

a，bn=

n2+9n-22

2

a+64a-4na，
所以a_n+1-b_n=（5n-59）a．
所以，5≤n≤11時(shí)，a_n+1＜b_n；12≤n≤16時(shí)，a_n+1＞b_n．
n≥17時(shí)，顯然a_n+1＞b_n．
故當(dāng)1≤n≤11時(shí)，a_n+1＜b_n；當(dāng) n≥12時(shí)，a_n+1＞b_n．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確理解題意是關(guān)鍵．