Question

19．已知一個(gè)口袋有m個(gè)白球，n個(gè)黑球（m，n∈N^*，n≥2），這些球除顏色外全部相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1，2，3，…，m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜（k=1，2，3，…，m+n）．

1

2

3

…

m+n

（1）試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；
（2）隨機(jī)變量x表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，E（X）是X的數(shù)學(xué)期望，證明E（X）＜$\frac{n}{（m+n）（n-1）}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)事件A_i表示編號(hào)為i的抽屜里放的是黑球，則p=p（A₂）=P（A₂|A₁）P（A₁）+P（A₂|$\overline{{A}_{1}}$）P（$\overline{{A}_{1}}$），由此能求出編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率．
（2）X的所有可能取值為$\frac{1}{n}，\frac{1}{n+1}$，…，$\frac{1}{n+m}$，P（x=$\frac{1}{k}$）=$\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{{C}_{m+n}^{n}}$，k=n，n+1，n+2，…，n+m，從而E（X）=$\sum_{k=1}^{n+m}$（$\frac{1}{k}•\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{{C}_{n+m}^{n}}$）=$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{k}$，由此能證明E（X）＜$\frac{n}{（m+n）（n-1）}$．

解答 解：（1）設(shè)事件A_i表示編號(hào)為i的抽屜里放的是黑球，
則p=p（A₂）=P（A₂|A₁）P（A₁）+P（A₂|$\overline{{A}_{1}}$）P（$\overline{{A}_{1}}$）
=$\frac{n-1}{m+n-1}×\frac{n}{m+n}+\frac{n}{m+n-1}×\frac{m}{m+n}$
=$\frac{{n}^{2}-n+mn}{（m+n）（m+n-1）}$=$\frac{n}{m+n}$．
證明：（2）∵X的所有可能取值為$\frac{1}{n}，\frac{1}{n+1}$，…，$\frac{1}{n+m}$，
P（x=$\frac{1}{k}$）=$\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{{C}_{m+n}^{n}}$，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）=$\sum_{k=1}^{n+m}$（$\frac{1}{k}•\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{{C}_{n+m}^{n}}$）=$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{k}$
=$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{k}$＜$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-1}^{n-1}}{k-1}$=$\frac{1}{{C}_{n+m}^{n}}•\sum_{k=n}^{n+m}\frac{{C}_{k-2}^{n-2}}{n-1}$
=$\frac{1}{（n-1）{C}_{n+m}^{n}}$•（${C}_{n-2}^{n-2}+{C}_{n-1}^{n-2}+…+{C}_{n+m-2}^{n-2}$）
=$\frac{1}{（n-1）{C}_{m+n}^{n}}•{C}_{m+n-1}^{n-1}$=$\frac{n}{（m+n）（n-1）}$，
∴E（X）＜$\frac{n}{（m+n）（n-1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．