【題目】已知橢圓 的長軸長是短軸長的兩倍，且過點C（2，1），點C關(guān)于原點O的對稱點為點D．
（1）求橢圓E的方程；
（2）點P在橢圓E上，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由：
（3）平行于CD的直線l交橢圓E于M，N兩點，求△CMN面積的最大值，并求此時直線l的方程．

【答案】
（1）解：∵2a=22b，∴a=2b．

設(shè)橢圓方程為 ．

橢圓E過點C（2，1），

代入橢圓方程得 ，解得 ，則 ，

所以所求橢圓E的方程為 ；


（2）解：依題意得D（﹣2，﹣1）在橢圓E上．

CP和DP的斜率KCP和KDP均存在．

設(shè)P（x，y），則 ， ，

①

又∵點P在橢圓E上，

∴ ，∴x2=8﹣4y2，代入①得，

．

所以CP和DP的斜率KCP和KDP之積為定值


（3）解：CD的斜率為 ，∵CD平行于直線l，∴設(shè)直線l的方程為 ．

由 ，

消去y，整理得x2+2tx+（2t2﹣4）=0．

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）．

由 ，得|MN|=

= ．

．

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)t2=4﹣t2時取等號，即t2=2時取等號

所以△MNC面積的最大值為2．

此時直線l的方程


【解析】（1）由橢圓長軸長是短軸長的兩倍設(shè)出橢圓的方程，把點C的坐標(biāo)代入橢圓方程可求解b，則橢圓的方程可求；（2）設(shè)出P點的坐標(biāo)，寫出直線CP和DP的斜率，由點P在橢圓上得到P點橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，代入斜率乘積的表達式整理可得直線CP和DP的斜率之積為定值；（3）由直線l平行于CD，設(shè)出直線l的斜截式方程，和橢圓方程聯(lián)立后求出弦MN的長度，由點到直線的距離公式求出C到MN的距離，代入面積公式后利用基本不等式求最大值，并求出使面積最大時的直線l的方程．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f（an）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）= ；④f（x）=ln|x|．則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號為（ ）
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④

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【題目】如圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圓于F，過A點的切線交DC的延長線于P，PC=ED=1，PA=2．

（1）求AC的長；
（2）試比較BE與EF的長度關(guān)系．

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【題目】如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，PC=2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E，證明：

（1）BE=EC；
（2）ADDE=2PB2 ．

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【題目】已知點A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),=(3λ,4λ)(λ≠0),=-4,若拋物線y2=ax經(jīng)過A和B兩點,則a的值為(　　)

A. 2 B. -2

C. -4 D. 4

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【題目】已知點P(x0,3)與點Q(x0,4)分別在橢圓=1與拋物線y2=2px(p>0)上.

(1)求拋物線的方程;

(2)設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2)(y1≤0,y2≤0)是拋物線上的兩點,∠AQB的角平分線與x軸垂直,求直線AB在y軸上的截距的取值范圍.

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【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項a1=1，sn是數(shù)列{an}的前n項和，且滿足：
anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1（λ≠0，n∈N ）
（1）若a1 ， a2 ， a3成等比數(shù)列，求實數(shù)λ的值；
（2）若λ= ，求Sn ．

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【題目】已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且滿足4Sn＝(an＋1)2.

(1)求{an}的通項公式；

(2)設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn.

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（1）求a的值；
（2）函數(shù)f （x）能否在x=1處取得極值？若能取得，求此極值；若不能，請說明理由．
（3）當(dāng)1＜x＜2時，試比較 與 大�。�

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