Question

點(diǎn)P是雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是該雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為線段PF₂的中點(diǎn)．若△OMF₂的周長為12，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)P到該雙曲線的左準(zhǔn)線的距離為（　�。�

Answer 1

分析：先利用三角形中線性質(zhì)計(jì)算焦點(diǎn)三角形PF₁F₂的周長，再利用雙曲線的第一定義，求得點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離，最后利用雙曲線的第二定義，求得所求距離

解答：解：∵M(jìn)為線段PF₂的中點(diǎn)，又∵O為F₁F₂的中點(diǎn)，∴OM∥PF₁，且OM=

1

2

|PF₁|
∴△OMF₂的周長為△PF₁F₂的周長的一半
∴△PF₁F₂的周長l=24=PF₁+PF₂+F₁F₂，
∵PF₁-PF₂=6，F(xiàn)₁F₂=10，∴PF₁=10，PF₂=4
∵雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的離心率e=

5

3

，設(shè)點(diǎn)P到該雙曲線的左準(zhǔn)線的距離為d，
∴

PF1

d

=e，即

10

d

=

5

3

，∴d=6
∴P到該雙曲線的左準(zhǔn)線的距離為6
故選B

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，雙曲線的兩個定義及其應(yīng)用，焦點(diǎn)三角形中的計(jì)算問題，求得點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題