Question

已知函數(shù)
（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）若f（x）的定義域為[α，β]（β＞α＞0），判斷f（x）在定義域上的增減性，并加以證明；
（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域為[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]的定義域區(qū)間[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由得f（x）的定義域為（-∞，-3）∪（3，+∞），關于原點對稱．
∵
∴f（x）為奇函數(shù) …（3分）
（2）∵f（x）的定義域為[α，β]（β＞α＞0），則[α，β]?（3，+∞）．
設x₁，x₂∈[α，β]，則x₁＜x₂，且x₁，x₂＞3，
f（x₁）-f（x₂）==
∵（x₁-3）（x₂+3）-（x₁+3）（x₂-3）=6（x₁-x₂）＜0，
∴（x₁-3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂-3）
即，
∴當0＜m＜1時，log_m，即f（x₁）＞f（x₂）；
當m＞1時，log_m，即f（x₁）＜f（x₂），
故當0＜m＜1時，f（x）為減函數(shù)；m＞1時，f（x）為增函數(shù)． …（7分）
（3）由（1）得，當0＜m＜1時，f（x）在[α，β]為遞減函數(shù)，
∴若存在定義域[α，β]（β＞α＞0），使值域為[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，
則有…（9分）
∴
∴α，β是方程的兩個解…（10分）
解得當時，[α，β]=，
當時，方程組無解，即[α，β]不存在． …（12分）
分析：（1）先求得f（x）的定義域為（-∞，-3）∪（3，+∞），關于原點對稱．再驗證，從而可得f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）的定義域為[α，β]（β＞α＞0），則[α，β]?（3，+∞）．設x₁，x₂∈[α，β]，則x₁＜x₂，且x₁，x₂＞3，作差f（x₁）-f（x₂）==，從而可知當0＜m＜1時，log_m，即f（x₁）＞f（x₂）；當m＞1時，log_m，即f（x₁）＜f（x₂），
故當0＜m＜1時，f（x）為減函數(shù)；m＞1時，f（x）為增函數(shù)．
（3）由（1）得，當0＜m＜1時，f（x）在[α，β]為遞減函數(shù)，故若存在定義域[α，β]（β＞α＞0），使值域為[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，則有，從而問題可轉化為α，β是方程的兩個解，進而問題得解．
點評：本題以對數(shù)函數(shù)為載體，考查對數(shù)函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的定義域與值域，同時考查分類討論的數(shù)學思想，綜合性強．