Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n（n∈N*），a₁=1且
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；．

Answer 1

【答案】分析：（1）將轉(zhuǎn)化為 2S_n•S_n-1=S_n-1-S_n兩邊同除以S_n•S_n-1得2=-構(gòu)造數(shù)列{}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，求其通項公式，再據(jù)Sn與an的關(guān)系求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2），不等式左端無法進一步整理化簡，又是與自然數(shù)有關(guān)，考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答：解：（1）∵a₁=1且
即（n≥2）
  2S_n•S_n-1=S_n-1-S_n兩邊同除以S_n•S_n-1得
2=-∴數(shù)列{}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列．
∴=1+2（n-1）=2n-1
∴S_n=，
當(dāng)n=1時，a₁=1，
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1==
∴a_n=
（2）
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時，=，不等式成立． ①
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時成立，即有
那么當(dāng)n=k+1時=
下證＞成立．
只需證
兩邊平方即為    ，兩邊減去1得
即證8（k+1）²＞4k²+4k+1，
即4k²+12k+7＞0，顯然成立②
 由①②可知，原不等式對任意正整數(shù)n都成立．
點評：本題考查通項公式求解、不等式的證明，用到的知識和方法有，Sn與an的關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法，考查分析解決問題、轉(zhuǎn)化、計算等能力．