Question

（本小題滿分12分）

如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角

形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點(diǎn)，

F在棱AC上，且AF＝3FC．

（1）求三棱錐D－ABC的表面積；

（2）求證AC⊥平面DEF；

（3）若M為BD的中點(diǎn)，問(wèn)AC上是否存在一點(diǎn)N，

使MN∥平面DEF？若存在，說(shuō)明點(diǎn)N的位置；若不

存在，試說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解（證明）（1）因?yàn)?AB⊥平面BCD，所以 AB⊥BC，AB⊥BD．

因?yàn)?△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，所以 AD＝AC＝．

設(shè)G為CD的中點(diǎn)，則CG＝，AG＝．

所以 ，，．

三棱錐D－ABC的表面積為

（2）取AC的中點(diǎn)H，因?yàn)?AB＝BC，所以 BH⊥AC．

因?yàn)?AF＝3FC，所以 F為CH的中點(diǎn)．

因?yàn)?E為BC的中點(diǎn)，所以 EF∥BH．則EF⊥AC．

因?yàn)?△BCD是正三角形，所以 DE⊥BC．

因?yàn)?AB⊥平面BCD，所以 AB⊥DE．

因?yàn)?AB∩BC＝B，所以 DE⊥平面ABC．所以 DE⊥AC．

因?yàn)?DE∩EF＝E，所以 AC⊥平面DEF

（3）存在這樣的點(diǎn)N，

當(dāng)CN＝時(shí)，MN∥平面DEF．

連CM，設(shè)CM∩DE＝O，連OF．

由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM．

所以 當(dāng)CF＝CN時(shí)，MN∥OF．所以 CN＝

【解析】略