Question

17．已知直線l₁：x+y-1=0與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點，M是線段AB上的一點，$\overrightarrow{AM}$=-$\overrightarrow{BM}$，且點M在直線l₂：y=$\frac{1}{2}$x上．
（I）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設橢圓左焦點為F₁，若∠AF₁B為鈍角，求橢圓長軸長的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系求出A，B的中點坐標，代入直線y=$\frac{1}{2}$x，求得a，b，c的關系，結合隱含條件求得橢圓的離心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b=c，結合∠AF₁B為鈍角，即$\overrightarrow{{F}_{1}A}•\overrightarrow{{F}_{1}B}＜0$求出c的范圍，再由$a=\sqrt{2}c$求得橢圓長軸長的取值范圍．

解答 解：設A，B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）由$\overrightarrow{AM}$=-$\overrightarrow{BM}$，知M是AB的中點，由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，${y}_{1}+{y}_{2}=-（{x}_{1}+{x}_{2}）+2=\frac{2^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴點M的坐標為$（\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}，\frac{^{2}}{{a}^{2}+^{2}}）$．
又點M在直線l₂上，∴$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}-\frac{2^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=0$，
∴a²=2b²=2（a²-c²），∴a²=2c²，則$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，方程化為3x²-4x+2-2c²=0．
由△=16-24（1-c²）＞0，得$c＞\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2-2{c}^{2}}{3}$，y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=$-\frac{2{c}^{2}}{3}+\frac{1}{3}$．
由已知可得$\overrightarrow{{F}_{1}A}•\overrightarrow{{F}_{1}B}＜0$，即$（{x}_{1}+c，{y}_{1}）•（{x}_{2}+c，{y}_{2}）={x}_{1}{x}_{2}+c（{x}_{1}+{x}_{2}）+{c}^{2}+{y}_{1}{y}_{2}＜0$．
把根與系數(shù)的關系代入上式得c²-4c-3＞0，解得$c＞2+\sqrt{7}$或$c＜2-\sqrt{7}$，
綜上，$c＞2+\sqrt{7}$．
又$a=\sqrt{2}c$，
∴2a的取值范圍是（$4\sqrt{2}+2\sqrt{14}$，+∞）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，化為關于x的一元二次方程后，利用根與系數(shù)的關系求解，是中檔題．