Question

11．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=1，AB=$\sqrt{2}$，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB、PC中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥PD；
（2）求點(diǎn)E到平面PDC的距離．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點(diǎn)M，可得AEFM為平行四邊形，AM∥EF，根據(jù)AM⊥PD，證得EF⊥PD．
（2）設(shè)點(diǎn)E到平面PDC的距離為h，由于AE平行于平面PCD，故點(diǎn)E到平面PDC的距離等于點(diǎn)A到平面PDC的距離，再根據(jù)由V_P-ACD=V_E-PCD，求得h的值．

解答 解：（1）如圖所示：已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA⊥底面ABCD，取PD的中點(diǎn)M，
∵E為AB的中點(diǎn)，
故AE∥MF，AE=MF，∴AEFM為平行四邊形，∴AM∥EF．
由PA=AD=1，AB=$\sqrt{2}$，可得PAD為等腰直角三角形，AM⊥PD，故EF⊥PD．
（2）由于PCD PCE都是直角三角形，利用勾股定理求得PC=2，PD=$\sqrt{2}$，
設(shè)點(diǎn)E到平面PDC的距離為h．
由于AE平行于平面PCD，故點(diǎn)E到平面PDC的距離等于點(diǎn)A到平面PDC的距離．
由V_P-ACD=V_E-PCD 可得 $\frac{1}{3}$•S_△ACD•PA=$\frac{1}{3}$•S_△PCD•h，
可得•S_△ACD•PA=S_△PCD•h，即$\frac{1}{2}$•AD•CD•PA=$\frac{1}{2}$•PD•CD•h，即AD•PA=PD•h，
即1×1=$\sqrt{2}$•h，求得 h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 點(diǎn)E到平面PDC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查證明直線和直線垂直的方法，用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．