Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一部分圖象如圖所示
（I） 求函數(shù)f（x）解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（kx）（k＞0）周期為

2π

3

，當x∈[0，

π

3

]時，方程f（kx）=m恰有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由圖象可知A的值，再求出ω的值，根據(jù)（

π

3

，2）在圖象上可求φ的值，從而可求函數(shù)f（x）解析式；
（2）先求出k的值，確定f（3x）的解析式，令t=3x+

π

6

，根據(jù)x，t的取值范圍即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： （本題滿分12分）
解：（1）由圖象可知A=2，T=2(

4π

3

-

π

3

)=2π=

2π

ω

，ω=1---------------------------------------（4分）
又因為，ω•

π

3

+φ=

π

2

，φ=

π

6

故可得f(x)=2sin(x+

π

6

)…（6分）
（2）∵函數(shù)y=f(kx)=2sin(kx+

π

6

)的周期為

2π

3

又k＞0
∴k=3∴y=f(3x)=2sin(3x+

π

6

)---------------------------------------（8分）
令t=3x+

π

6

，∵x∈[0，

π

3

]
∴t∈[

π

6

，

7π

6

]sint=s在[

π

6

，

7π

6

]上有兩個不同的解的條件是s∈[

1

2

，1)
∴方程f（kx）=m在x∈[0，

π

3

]時恰好有兩個不同的解的條件是m∈[1，2），
即實數(shù)m的取值范圍是m∈[1，2）…（12分）

點評：本題主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．