Question

如圖，長(zhǎng)方體中，為中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說明理由；

（3）若二面角的大小為，求的長(zhǎng).

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）存在，且；（3）的長(zhǎng)為.

【解析】

試題分析：（1）以為原點(diǎn)，、、的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032104060061096683/SYS201403210406356109565760_DA.files/image008.png">軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)，利用空間向量法證明，從而達(dá)到證明；（2）設(shè)點(diǎn)，求出 平面，利用平面轉(zhuǎn)化為，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出知，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo)，最終得到的長(zhǎng)；（3）設(shè)，利用空間向量法求出二面角的余弦值的表達(dá)式，再結(jié)合二面角為這一條件求出的值，從而確定的長(zhǎng)度.

試題解析：（1）以為原點(diǎn)，、、的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032104060061096683/SYS201403210406356109565760_DA.files/image008.png">軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，

故，，，，

，；

（2）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，使得平面，此時(shí)，

有設(shè)平面的法向量為，

平面，，，得，

取，得平面的一個(gè)法向量為，

要使平面，只要，即有，由此得，解得，即，

又平面，

存在點(diǎn)，滿足平面，此時(shí)；

（3）連接、，由長(zhǎng)方體及，得，

，，

由（1）知，，由，平面，

是平面的一個(gè)法向量，此時(shí)，

設(shè)與所成的角為，得，

二面角的大小為，

，解得，即的長(zhǎng)為.

考點(diǎn)：1.直線與直線垂直；2.直線與平面平行的探索；3.利用空間向量法求二面角