Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x²+y²-12x+32=0的圓心為Q，過點(diǎn)P（0，2）且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先把圓的方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得圓心，設(shè)出直線方程代入圓方程整理后，根據(jù)判別式大于0求得k 的范圍，
（Ⅱ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)（1）中的方程和韋達(dá)定理可求得x₁+x₂的表達(dá)式，根據(jù)直線方程可求得y₁+y₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)以與共線可推知（x₁+x₂）=6（y₁+y₂），進(jìn)而求得k，根據(jù)（1）k的范圍可知，k不符合題意．
解答：解：（Ⅰ）圓的方程可寫成（x-6）²+y²=4，所以圓心為Q（6，0），過P（0，2）
且斜率為k的直線方程為y=kx+2．
代入圓方程得x²+（kx+2）²-12x+32=0，
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0． ①
直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B等價(jià)于△=[4（k-3）²]-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）＞0，
解得，即k的取值范圍為．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，
由方程①，②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4． ③
而．
所以與共線等價(jià)于（x₁+x₂）=3（y₁+y₂），
將②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知，故沒有符合題意的常數(shù)k．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓的方程的綜合運(yùn)用．常需要把直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和判別式求得問題的解．