Question

20．已知函數f（x）=a^|x|（a＞0，a≠1）在區(qū)間（-∞，0）上為增函數，且對任意x∈[m，m+1]，不等式f（x+m）≤f²（x）恒成立，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A． m≤-$\frac{3}{2}$
• B． m≤-3
• C． m≤-$\frac{2}{3}$
• D． m≤-$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 根據函數f（x）=a^|x|（a＞0，a≠1）在區(qū)間（-∞，0）上為增函數，得到函數為偶函數，且0＜a＜1，求出函數f（x）的表達式，然后將不等式f（x+m）≤f²（x）化簡，對m進行討論，將x解出來，做到參數分離，由恒成立思想，即可求出m的范圍．

解答 解：函數f（x）=a^|x|（a＞0，a≠1）在區(qū)間（-∞，0）上為增函數，
∴f（x）為R上的偶函數，且0＜a＜1，
∴f（x）=a^|x|（x∈R），
∵f（x+m）≤f²（x），
∴a^|x+m|≤a^|2x|，
∴|x+m|≥|2x|，即（3x+m）（x-m）≤0，當m≤0時，m≤x≤-$\frac{1}{3}$m，
由于對任意的x∈[m，m+l]，不等式f（x+m）≤f²（x）恒成立，
∴m≤m且m+1≤-$\frac{1}{3}$m，解得m≤-$\frac{3}{4}$；
當m＞0時，-$\frac{m}{3}$≤x≤m，
∴-$\frac{m}{3}$≤m，且m+1≤m，m無解，
綜上可知，實數a的取值范圍是：m≤-$\frac{3}{4}$；
故選：D．

點評 本題主要考查函數的奇偶性及運用，求出函數在定義域上的解析式是解題的關鍵，考查解決恒成立問題的常用方法：參數分離，必須掌握．