Question

如圖，在棱長均為4的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、D₁分別是BC和B₁C₁的中點．
（1）求證：A₁D₁∥平面AB₁D；
（2）若平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∠B₁BC=60°，求三棱錐B₁-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）欲證A₁D₁∥平面AB₁D，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證A₁D₁與平面AB₁D內一直線平行，連接DD₁，根據(jù)中位線定理可知B₁D₁∥BD，且B₁D₁=BD，則四邊形B₁BDD₁為平行四邊形，同理可證四邊形AA₁D₁D為平行四邊形，則A₁D₁∥AD
又A₁D₁?平面AB₁D，AD?平面AB₁D，滿足定理所需條件；
（2）根據(jù)面面垂直的性質定理可知AD⊥平面B₁C₁CB，即AD是三棱錐A-B₁BC的高，求出三棱錐A-B₁BC的體積，從而求出三棱錐B₁-ABC的體積．

解答：解：（1）證明：連接DD₁，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵D、D₁分別是BC和B₁C₁的中點．
∴B₁D₁∥BD，且B₁D₁=BD
∴四邊形B₁BDD₁為平行四邊形
∴BB₁∥DD₁，且BB₁=DD₁
又因AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁
所以AA₁∥DD₁，AA₁=DD₁
所以四邊形AA₁D₁D為平行四邊形，所以A₁D₁∥AD
又A₁D₁?平面AB₁D，AD?平面AB₁D
故A₁D₁∥平面AB₁D；
（2）在△ABC中，棱長均為4，則AB=AC，D為BC的中點，所以AD⊥BC
因為平面ABC⊥平面B₁C₁CB，交線為BC，AD?平面ABC
所以AD⊥平面B₁C₁CB，即AD是三棱錐A-B₁BC的高
在△ABC中，AB=AC=BC=4得AD=2

3

在△B₁BC中，B₁B=BC=4，∠B₁BC=60°
所以△B₁BC的面積為4

3

∴三棱錐B₁-ABC的體積即為三棱錐A-B₁BC的體積V=

1

3

×4

3

×2

3

=8

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及三棱錐的體積的計算，同時考查了推理論證的能力、計算能力，轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．