Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥CD；
（Ⅱ）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）求DB與平面DEF所成角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：解法一：（Ⅰ）由圖形知，可先證CD垂直于PA，由PA∥EF，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）G是AD的中點(diǎn)，取PC的中點(diǎn)H，連接DH，可得出DH∥GF，先證DH⊥平面PCB．即可得結(jié)論GF⊥平面PCB；
（Ⅲ）求DB與平面DEF所成角的大小，由題設(shè)，令底面邊長(zhǎng)為a，BD易求，由圖形結(jié)構(gòu)知，可用等體積法求出B到面DEF的距離，由此線面的正弦求得．
解法二：以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)AD=a，給出各點(diǎn)的坐標(biāo)
（Ⅰ）求出兩直線的方向向量的坐標(biāo)，用內(nèi)積為0證之；
（Ⅱ）設(shè)G（x，0，z），由題意必是平面的法向量，故與平面的向量?jī)?nèi)積為0，由此得方程，求出參數(shù)的值，發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)G的位置．
（Ⅲ）求DB與平面DEF所成角的大小，求出直線DB的方向向量與平面DEF的法向量，由公式求出即可．
解答：解：法一（Ⅰ）由題意，如圖可得EF∥PA，∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形∴CD⊥面PAD
∴CD⊥PA，∴EF⊥CD
（Ⅱ）答：G是AD的中點(diǎn)．
取PC的中點(diǎn)H，連接DH.，∴，∴BC⊥DH，∴，∴
∴GF⊥平面PCB．
（Ⅲ）設(shè)B到平面DEF的距離為d，下用等體積法求d
.
，∴，
∴
∵BD=a
∴DB與平面DEF所成角的正弦為=，∴DB與平面DEF所成角arcsin
法二：
以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)AD=a，則
D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、、P（0，0，a）．
（Ⅰ），
∴EF⊥DC．
（Ⅱ）設(shè)G（x，0，z），則G∈平面PAD．

（Ⅲ）設(shè)平面DEF的法向量為．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間的線面關(guān)系、線面角、空間向量及坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，求解本題的關(guān)鍵是正確理解線面角的定義，及線面角與向量夾角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，易公式用錯(cuò)導(dǎo)致錯(cuò)誤．