Question

曲線C₁是以原點O為中心，F₁，F₂為焦點的橢圓的一部分．曲線C₂是以O為頂點，F₂為焦點的拋物線的一部分，A是曲線C₁和C₂的交點且∠AF₂F₁為鈍角，若|AF₁|=，|AF₂|=．
（I）求曲線C₁和C₂的方程；
（II）設點C是C₂上一點，若|CF₁|=|CF₂|，求△CF₁F₂的面積．

Answer 1

解：（I）設曲線C₁的方程為 ，
則2a=|AF₁|+|AF₂|= 得a=3
設A（x，y），F₁（﹣c，0），F₂（c，0），
則（x+c）²+y²= ，（x﹣c）²+y²= 
兩式相減可得：xc= 
由拋物線定義可知|AF₂|=x+c=  ∴c=1，x= 或x=1，c= （舍去）
所以曲線C₁的方程為 ，C₂的方程為y²=4x（0≤x≤ ）；
（II）過點F₁作直線l垂直于x軸，過點C作直線CC₁⊥l于點C₁，
依題意知l為拋物線C₂的準線，則|CC₁|=|CF₂|
在直角△CC₁F₁中，|CF₁|= |CC₁|，∠C₁CF₁=45°
∵∠CF₁F₂=∠C₁CF₁=45°
在△CF₁F₂中，設|CF₂|=r，則|CF₁|= r，|F₁F₂|=2
由余弦定理可得2²+2r²﹣2×2× rcos45°=r²， ∴r=2
∴S_△CF1F2=