Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）和四個點A、B、C、D，其中A在拋物線上，B（b，0），C（0，c）（c≠0），且直線AC交X軸于D點
（1）若p=2，b=-8，且D為AC中點，求證：AC⊥BC
（2）若p=2，b=1，且AC⊥BC，判斷A，C，D三點的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）對（1）（2）兩個問題的探究過程中，涉及到以下三個條件：
①AC⊥BC；  ②點A、C、D的位置關(guān)系； ③點B的坐標．
對拋物線y²=2px（p＞0），請以其中的兩個條件做前提，一個做結(jié)論，寫出三個真命題，（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合拋物線的方程可設(shè)A(

y02

4

，y0)，B(-8，0)，由D為AC的中點可知D(

y02

8

，0)，C(0，-y0)
要證明AC⊥BC?

AC

•

BC

=0即可
（2）由題意可設(shè)A(

y02

4

，y0)，B(1，0)，C(0，c)由AC⊥BC，可得

AC

•

BC

=0，代入可求c=

y0

2

，從而可得C是AD的中點
（3）真命題共有8種情況：①②⇒③共3種情況；①③⇒②共2種情況；②③⇒①共3種情況

解答：解：（1）由題意可設(shè)A(

y02

4

，y0)，B(-8，0)，…（1分）
?D為AC中點，∴D(

y02

8

，0)，C(0，-y0)…（4分）
又∵

AC

•

BC

=(-

y02

4

，-2y0)•(8，-y0)=0∴AC⊥BC…（6分）
（2）由題意可設(shè)A(

y02

4

，y0)，B(1，0)，C(0，c)，…（7分）
∵AC⊥BC，∴

AC

•

BC

=0⇒(-

y02

4

，c-y0)•(-1，c)=0⇒

y02

4

+c2-cy0=0⇒(c-

y0

2

)2=0（10分）
即c=

y0

2

，C是A，D的中點．…（12分）
（3）真命題共有8種情況：每個（2分）
①②⇒③共3種情況：
（i）若AC⊥BC，C為A，D的中點，則B(

p

2

，0)
（ii）若AC⊥BC，D為A，C中點，則B（-4p，0）
（iii）若AC⊥BC，A是C，D中點，則B（-4p，0）
①③⇒②共2種情況：
（i）若AC⊥BC，B(

p

2

，0)，則C為A，D的中點
（ii）若AC⊥BC，B（-4p，0），則D為A，C中點或A是C，D中點
②③⇒①共3種情況：
（i）若C為A，D的中點，B(

p

2

，0)，則AC⊥BC
（ii）若D為A，C中點，B（-4p，0），則AC⊥BC
（iii）若A是C，D中點，B（-4p，0），則AC⊥BC

點評：本題主要考查了拋物線的方程的應(yīng)用，直線垂直與向量垂直的相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用，利用拋物線方程y²=2px（p＞0）的特點設(shè)出拋物線上點的坐標(

y2

2p

，y)是一種常用的設(shè)法