Question

已知函數(shù)f（x）=-

2

3

x³+ax²+4x（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最小值與最大值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=1代入f（x），對f（x）進行求導，令f′（x）=0，求出極值點，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問題；
（Ⅱ）因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，說明f′（x）≥0在[-1，1]上恒大于等于0，求出實數(shù)a的取值范圍；

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f(x)=-

2

3

x3+x2+4x，f′（x）=-2x²+2x+4，
若f′（x）=0，則x=-1或x=2．                                 （2分）
在區(qū)間[-3，3]上，當x變化時f'（x）、f（x）的情況是：（5分）

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	15	μ	極小值- 7 3	κ	極大值 20 3	μ	3

∴f(x)min=f(-1)=-

7

3

，f（x）_max=f（-3）=15（7分）
（Ⅱ）f′（x）=-2x²+2ax+4（8分）
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，
∴當x∈[-1，1]時，f′（x）≥0恒成立．（10分）
∴

f/(-1)=-2a+2≥0 f/(1)=2a+2≥0

，（13分）
∴-1≤a≤1．                                                 （15分）

點評：此題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，解題的過程中用到了轉(zhuǎn)化的思想，是一道中檔題；