Question

如圖，從雙曲線的左焦點(diǎn)F引圓x²+y²=a²的切線，切點(diǎn)為T，延長FT交雙曲線右支于P點(diǎn)，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|-|MT|與b-a的大小關(guān)系為（ ）
A．|MO|-|MT|＞b-a
B．|MO|-|MT|＜b-a
C．|MO|-|MT|=b-a
D．以上三種可能都有

Answer 1

【答案】分析：將點(diǎn)P置于第一象限．設(shè)F₁是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF₁．由M、O分別為FP、FF₁的中點(diǎn)，知|MO|=|PF₁|．由雙曲線定義，知|PF|-|PF₁|=2a，|FT|==b．由此知|MO|-|MT|=（|PF₁|-|PF|）+|FT|=b-a．
解答：解：將點(diǎn)P置于第一象限．
設(shè)F₁是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF₁
∵M(jìn)、O分別為FP、FF₁的中點(diǎn)，∴|MO|=|PF₁|．
又由雙曲線定義得，
|PF|-|PF₁|=2a，
|FT|==b．
故|MO|-|MT|
=-|MF|+|FT|
=（|PF₁|-|PF|）+|FT|
=b-a．
故選C．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．