Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+ ，其中a為大于零的常數(shù)．．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；
（3）求證：對(duì)于任意的n∈N* ， 且n＞1時(shí)，都有l(wèi)nn＞ + +…+ 成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，f′（x）= ﹣ = ，

∵a為大于零的常數(shù)，

若使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，

則使ax﹣1≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，

即a﹣1≥0，

故a≥1

（2）解：當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，

這時(shí)f（x）在[1，2]上為增函數(shù)∴f（x）min=f（1）=0．

當(dāng)0＜a≤ ，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，

這時(shí)f（x）在[1，2]上為減函數(shù)∴f（x）min=f（2）=ln2﹣ ，

當(dāng) ＜a＜1時(shí)，令f′（x）=0，得x= ∈（1，2）．

又∵對(duì)于x∈[1， ）有f′（x）＜0，

對(duì)于x∈（ ，2]有f′（x）＞0，

∴f（x）min=f（ ）=ln +1﹣ ，

綜上，f（x）在[1，2]上的最小值為

①當(dāng)0＜a≤ 時(shí)，f（x）min=ln2﹣ ；

②當(dāng) .＜a＜1時(shí)，f（x）min=ln +1﹣ ．

③當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）min=0

（3）證明：由（1）知函數(shù)f（x）= ﹣1+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，

當(dāng)n＞1時(shí)，∵ ＞1，∴f（ ）＞f（1），

即lnn﹣ln（n﹣1）＞ ，對(duì)于n∈N*且n＞1恒成立．

lnn=[lnn﹣ln（n﹣1）]+[ln（n﹣1）﹣ln（n﹣2）]++[ln3﹣ln2]+[ln2﹣ln1]＞ + +…+ ，

∴對(duì)于n∈N*，且n＞1時(shí)，lnn＞ + +…+ 恒成立

【解析】（1）求導(dǎo)，將函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增化為導(dǎo)數(shù)恒不小于0，從而求a的取值范圍；（2）研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最后確定出最小值．（3）由（1）知函數(shù)f（x）= ﹣1+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，構(gòu)造n與n﹣1的遞推關(guān)系，可利用疊加法求出所需結(jié)論
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．