Question

已知ab≠0,求證：a+b=1的充要條件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

Answer 1

證明:先證必要性.

∵a+b=1,即b=1-a,

∴a³+b³+ab-a²-b²=a³+(1-a)³+a(1-a)-a²-(1-a)²

=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²=0.

∴必要性成立.再證充分性.

∵a³+b³+ab-a²-b²=0,

即(a+b)(a²-ab+b²)-(a²-ab+b²)=0.

∴(a+b-1)(a²-ab+b²)=0.

又∵ab≠0,∴a≠0且b≠0,從而a²-ab+b²≠0.

∴a+b-1=0.即充分性成立.

點評:證明充要條件時,要分清充分性是證明怎樣的一個式子成立,必要性又是證明怎樣的一個式子成立.