解:(Ⅰ)因為數列{a
n}為常數列,
所以a
n+1=a
n,
,
解得a
n=0或
,
由n的任意性知,a
1=0或
,
所以a=0,或
;
(Ⅱ)用數學歸納法證明
,
1當n=12時,
3,符合上式,
②假設當n=k(k≥1)時,
,
因為
,
所以
,
即
,
從而
,
即
,
因為
,
所以,當n=k+1時,
成立,
由①,②知,
;
(Ⅲ)因為a
2n-a
2n-2=3(3a
2n-2-3a
2n-22)-3(3a
2n-2-3a
2n-22)
2-a
2n-2=-27a
2n-24+54a
2n-23-36a
2n-22+8a
2n-2(n≥2),
所以只要證明-27a
2n-24+54a
2n-23-36a
2n-22+8a
2n-2<0,
由(Ⅱ)可知,a
2n-2>0,所以只要證明-27a
2n-23+54a
2n-22-36a
2n-2+8<0,
即只要證明27a
2n-23-54a
2n-22+36a
2n-2-8>0,
令f(x)=27x
3-54x
2+36x-8,
f'(x)=27×3x
2-54×2x+36=9(9x
2-12x+4)=9(3x-2)
2≥0,
所以函數f(x)在R上單調遞增,
因為
,所以
,
即27a
2n-23-54a
2n-22+36a
2n-2-8>0成立,
故a
2n<a
2n-2,
所以數列{a
2n}單調遞減.
分析:(Ⅰ)由題意知a
n+1=a
n,
,由此可推導出a=0,或
.
(Ⅱ)用數學歸納法證明
.
(Ⅲ)因為a
2n-a
2n-2=3(3a
2n-2-3a
2n-22)-3(3a
2n-2-3a
2n-22)
2-a
2n-2=-27a
2n-24+54a
2n-23-36a
2n-22+8a
2n-2(n≥2),
所以只要證明-27a
2n-24+54a
2n-23-36a
2n-22+8a
2n-2<0,然后用分析法能夠證明數列{a
2n}單調遞減.
點評:本題以數列為載體,考查不等式的證明,解題時要注意數列歸納法和分析法的證明技巧.