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數列{an}滿足:an+1=3an-3an2,n=1,2,3,…,
(Ⅰ)若數列{an}為常數列,求a1的值;
(Ⅱ)若數學公式,求證:數學公式;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求證:數列{a2n}單調遞減.

解:(Ⅰ)因為數列{an}為常數列,
所以an+1=an,,
解得an=0或,
由n的任意性知,a1=0或
所以a=0,或
(Ⅱ)用數學歸納法證明,
1當n=12時,3,符合上式,
②假設當n=k(k≥1)時,,
因為,
所以,
,
從而,
,
因為,
所以,當n=k+1時,成立,
由①,②知,;
(Ⅲ)因為a2n-a2n-2=3(3a2n-2-3a2n-22)-3(3a2n-2-3a2n-222-a2n-2=-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2(n≥2),
所以只要證明-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2<0,
由(Ⅱ)可知,a2n-2>0,所以只要證明-27a2n-23+54a2n-22-36a2n-2+8<0,
即只要證明27a2n-23-54a2n-22+36a2n-2-8>0,
令f(x)=27x3-54x2+36x-8,
f'(x)=27×3x2-54×2x+36=9(9x2-12x+4)=9(3x-2)2≥0,
所以函數f(x)在R上單調遞增,
因為,所以
即27a2n-23-54a2n-22+36a2n-2-8>0成立,
故a2n<a2n-2
所以數列{a2n}單調遞減.
分析:(Ⅰ)由題意知an+1=an,,由此可推導出a=0,或
(Ⅱ)用數學歸納法證明
(Ⅲ)因為a2n-a2n-2=3(3a2n-2-3a2n-22)-3(3a2n-2-3a2n-222-a2n-2=-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2(n≥2),
所以只要證明-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2<0,然后用分析法能夠證明數列{a2n}單調遞減.
點評:本題以數列為載體,考查不等式的證明,解題時要注意數列歸納法和分析法的證明技巧.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設數列{an}滿足a1=a,an+1=can+1-c(n∈N*),其中a,c為實數,且c≠0.
(Ⅰ)求數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設a=
1
2
,c=
1
2
,bn=n(1-an)(n∈N*)
,求數列{bn}的前n項和Sn

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科目:高中數學 來源: 題型:

數列{an}滿足a1=a,an+1=
an+3
2
,n=1,2,3,….
(Ⅰ)若an+1=an,求a的值;
(Ⅱ)當a=
1
2
時,證明:an
3
2

(Ⅲ)設數列{an-1}的前n項之積為Tn.若對任意正整數n,總有(an+1)Tn≤6成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•天津模擬)設數列{an}滿足a1=a,an+1=can+1-c(n∈N*),其中a,c為實數,且c≠0.
(1)求證:a≠1時數列{an-1}是等比數列,并求an;
(2)設a=
1
2
c=
1
2
bn=n(1-an)(n∈N*)
,求數列{bn}的前n項和Sn;
(3)設a=
3
4
,c=-
1
4
,cn=
3+an
2-an
(n∈N*),記dn=c2n-c2n-1(n∈N*)
,設數列{dn}的前n項和為Tn,求證:對任意正整數n都有Tn
5
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•大連二模)已知a為實數,數列{an}滿足a1=a,當n≥2時,an=
an-1-4 (an-1>4)
5-an-1 (an-1≤4)

(I)當a=200時,填寫下列表格;
N 2 3 51 200
an
(II)當a=200時,求數列{an}的前200項的和S200;
(III)令b n=
an
(-2)n
,Tn=b1+b2…+bn求證:當1<a<
5
3
時,T n
5-3a
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知常數a、b都是正整數,函數f(x)=
x
bx+1
(x>0),數列{an}滿足a1=a,
1
an+1
=f(
1
an
)
(n∈N*
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若a=8b,且等比數列{bn}同時滿足:①b1=a1,b2=a5;②數列{bn}的每一項都是數列{an}中的某一項.試判斷數列{bn}是有窮數列或是無窮數列,并簡要說明理由;
(3)對問題(2)繼續(xù)探究,若b2=am(m>1,m是常數),當m取何正整數時,數列{bn}是有窮數列;當m取何正整數時,數列{bn}是無窮數列,并說明理由.

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