Question

已知函數(shù)f（x）滿足2f（x+2）-f（x）=0，當x∈（0，2）時，f（x）=lnx+ax(a＜-

1

2

)，當x∈（-4，-2）時，f（x）的最大值為-4．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）設b≠0，函數(shù)g(x)=

1

3

bx3-bx，x∈（1，2）．若對任意的x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求出函數(shù)在（-4，-2）上的解析式，利用函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)的最大值（用a表示），令其等于-4，從而求出a；
（II）由任意的x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，函數(shù)f（x）的值域是函數(shù)g（x）值域的子集，即轉化為求兩個函數(shù)的值域，用函數(shù)的導數(shù)法即可解決．

解答：解：（I）由已知，得2f（x+2）=f（x），
∴f（x）=2f（x+2）=4f（x+4）（4分）
∵x∈（0，2）時，f（x）=lnx+ax，
設x∈（-4，-2），則x+4∈（0，2），
∴f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），
∴x∈（-4，-2）時，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4），
所以f′(x)=

4

x+4

+4a＞0，
∵x∈（-4，-2），
∴-4ax＜4+16a，
∵a＜-

1

2

，
∴f(x)max=f(-

1

a

-4)=4ln(-

1

a

)+4a•(-

1

a

)=-4．
又由a＜-

1

2

，可得-4＜-

1

a

-4＜-2，
∴f（x）在(-4，-

1

a

-4)上是增函數(shù)，在(-

1

a

-4，-2)上是減函數(shù)，
∴f(x)max=f(-

1

a

-4)=4ln(-

1

a

)+4a•(-

1

a

)=-4．
∴a=-1（7分）

（II）設f（x）的值域為A，g（x）的值域為B，
則由已知，對于任意的x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0得，A⊆B．（9分）
由（I）a=-1，當x∈（1，2）時，f（x）=lnx-x，f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
∵x∈（1，2），
∴f′（x）＜0，f（x）在x∈（1，2）上單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f（x）的值域為A=（ln2-2，-1）（10分）
∵g'（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1），
∴（1）當b＜0時，g（x）在（1，2）上是減函數(shù)，
此時，g（x）的值域為B=(

2

3

b，-

2

3

b)，
為滿足A⊆B，又-

2

3

b≥0＞-1．
∴

2

3

b≤ln2-2．即b≤

3

2

ln2-3．（11分）
（2）當b＞0時，g（x）在（1，2）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
此時，g（x）的值域為B=(-

2

3

b，

2

3

b)，為滿足A⊆B，
又，∴-

2

3

b≤ln2-2，
∴b≥-

3

2

(ln2-2)=3-

3

2

ln2，
綜上可知b的取值范圍是(-∞，

3

2

ln2-3]∪[3-

3

2

ln2，+∞)（12分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)在研究函數(shù)的最值中的應用，考查子集概念的理解，解題的關鍵是分類討論思想與轉化思想，化“生”為“熟”是解題之“良方”．