Question

已知點(diǎn)P是△ABC的中位線EF上任意一點(diǎn)，且EF∥BC，實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足

PA

+x

PB

+y

PC

=0．設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S₁，S₂，S₃，記

S3

S

=λ 3，

S 1

S

=λ 1，

S 2

S

=λ 2．則λ₂•λ₃取最大值時(shí)，2x+y的值為

3

2

．

Answer 1

分析：由題意可得，S1 =

1

2

S=S₂+S₃利用基本不等式λ2 •   λ3=

S2•S3

S2

≤

(S2+S3)2 4

S2

=

1

16

可知當(dāng)λ₂•λ₃取最大值時(shí)點(diǎn)P在EF的中點(diǎn)，由向量的加法的四邊形法則可得，

PA

+

PB

=2

PE

，

PA

+

PC

=2

PF

，從而可得2

PA

+

PB

+

PC

=

0

   結(jié)合

PA

+x

PB

+y

PC

=0可求x，y

解答：解：由題意可得，S1 =

1

2

S=S₂+S₃
λ2 •   λ3=

S2•S3

S2

≤

(S2+S3)2 4

S2

=

1

16

當(dāng)且僅當(dāng)S₂=S₃時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P在EF的中點(diǎn)
∴

PE

+

PF

=

0

由向量的加法的四邊形法則可得，

PA

+

PB

=2

PE

，

PA

+

PC

=2

PF

∴2

PA

+

PB

+

PC

=

0

∵

PA

+x

PB

+y

PC

=0
∴x=y=

1

2

，2x+y=

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用基本不等式求解最值，向量加法的四邊形法則的應(yīng)用，構(gòu)思比較巧妙，要注意體會(huì)掌握．