（2012•安徽模擬）函數(shù)f(x)=asin
πx
2
+bcos
πx
2
的一個零點為
1
3
，且f(
3
2
)＜f(
13
12
)＜0，對于下列結(jié)論：
①f(
13
3
)=0；②f(x)≥f(
4
3
)；③f(
13
12
)=f(
17
12
)
④f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[4k-
2
3
，4k+
1
3
](k∈Z)；
⑤f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[4k+
4
3
，4k+
10
3
](k∈Z)．
其中正確的結(jié)論是
①②⑤
①②⑤
．（填寫所有正確的結(jié)論編號）
分析：由題意可得f（x）=
a2+b2
sin（
π
2
x+φ），由f（
1
3
）=0，f(
3
2
)＜f(
13
12
)＜0，可確定φ，從而對①②③④⑤逐個判斷即可．
解答：解：由題意可得：f（x）=
a2+b2
sin（
π
2
x+φ），
∵f（
1
3
）=0，
∴sin（
π
6
+φ）=0，
∴φ=kπ-
π
6
（k∈Z）．不妨取φ=-
π
6
或φ=
5π
6
；
又f(
3
2
)＜f(
13
12
)＜0，即sin（
π
2
×
3
2
+φ）＜sin（
π
2
×
13
12
+φ）＜0，
∴φ=
5π
6
．
∴f（x）=
a2+b2
sin（
π
2
x+
5π
6
），
對于①，f（
13
3
）=
a2+b2
sin（
π
2
×
13
3
+
5π
6
）=
a2+b2
sin3π=0，故①正確；
對于②f（
4
3
）=
a2+b2
sin（
π
2
×
4
3
+
5π
6
）=
a2+b2
sin
3π
2
=-
a2+b2
．
∴f（x）=
a2+b2
sin（
π
2
x+
5π
6
）≥-
a2+b2
=f（
4
3
），即②正確；
對于③，∵f（
13
12
）=
a2+b2
sin（
π
2
×
13
12
+
5π
6
）=
a2+b2
sin
33π
24
=-
a2+b2
sin
3π
8
．
f（
17
12
）=
a2+b2
sin（
π
2
×
17
12
+
5π
6
）=
a2+b2
sin
37π
24
=-
a2+b2
sin
13π
24
≠f（
13
12
）．故③錯誤；
對于④，由2kπ+
π
2
≤
π
2
x+
5π
6
≤2kπ+
3π
2
，（k∈Z）得其單調(diào)遞減區(qū)間為：x∈[4k-
2
3
，4k+
4
3
]．故④錯誤．
對于⑤，由2kπ+
3π
2
≤
π
2
x+
5π
6
≤2kπ+
5π
2
，（k∈Z）得其單調(diào)遞增區(qū)間為：x∈[4k+
4
3
，4k+
10
3
]．故⑤正確．
故答案為：①②⑤．
點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，著重考查輔助角公式的應(yīng)用及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生綜合分析與轉(zhuǎn)化運用知識解決問題的能力，屬于難題．
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3
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AB
•
AC
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