【題目】已知定點、，直線、相交于點，且它們的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線交于、兩點，若直線與斜率之積為，求證：直線過定點，并求定點坐標(biāo).

【答案】（1）曲線的方程為 ；（2）直線過定點，定點坐標(biāo)為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)動點，則 ， ，即，化簡即可得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組

，消去得 ，設(shè)，根據(jù)斜率公式及韋達(dá)定理可得解得解得 或，驗證當(dāng)時，直線的方程為.直線過定點.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)動點，則 ，

，即，

化簡得： ，由已知，

故曲線的方程為 .

（Ⅱ）由已知直線斜率為0時，顯然不滿足條件。

當(dāng)直線 斜率不為0時，設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組

，消去得 ，

設(shè)，則，

直線與斜率分別為 , ，

，

由已知得，化簡得，解得 或，

當(dāng)時，直線的方程為過點A，顯然不符合條件，故舍去；

當(dāng)時，直線的方程為.直線過定點.

綜上，直線過定點，定點坐標(biāo)為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】數(shù)學(xué)老師給出一個函數(shù)，甲、乙、丙、丁四個同學(xué)各說出了這個函數(shù)的一條性質(zhì)：甲：在 上函數(shù)單調(diào)遞減；乙：在上函數(shù)單調(diào)遞增；丙：在定義域R上函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；丁：不是函數(shù)的最小值．老師說：你們四個同學(xué)中恰好有三個人說的正確．那么，你認(rèn)為____說的是錯誤的．

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（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？

（2）為了抓住2022年冬奧會契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和銷售策略改革，并提高定價到元.公司擬投入萬作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬元作為浮動宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達(dá)到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價.

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【題目】某商場為了了解顧客的購物信息，隨機(jī)在商場收集了位顧客購物的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

一次購物款（單位：元）

顧客人數(shù)

統(tǒng)計結(jié)果顯示位顧客中購物款不低于元的顧客占，該商場每日大約有名顧客，為了增加商場銷售額度，對一次購物不低于元的顧客發(fā)放紀(jì)念品.

（Ⅰ）試確定， 的值，并估計每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量；

（Ⅱ）為了迎接春節(jié)，商場進(jìn)行讓利活動，一次購物款元及以上的一次返利元；一次購物不超過元的按購物款的百分比返利，具體見下表：

一次購物款（單位：元）

返利百分比

請問該商場日均大約讓利多少元？

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【題目】如圖，已知橢圓：的離心率為，過左焦點且斜率為的直線交橢圓于兩點，線段的中點為，直線：交橢圓于兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：點在直線上；

（3）是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

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【題目】斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線y＝x2的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，若線段|AB|的長為8.

(1)求拋物線的焦點F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(2)求直線的斜率k.

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（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使得對任意正實數(shù)恒成立？若存在，求出滿足條件的實數(shù)；若不存在，請說明理由．

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