Question

已知命題p：m²-m＜0，命題q：

y2

2

+

x2

1+4m2

=1表示焦點在y軸上的橢圓．
（Ⅰ）若p∧q是真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ） 若橢圓

y2

2

+

x2

1+4m2

=1的焦點到雙曲線

x2

2

-

y2

2

=1的漸近線的距離為

2

2

，求m的值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）由命題p：m²-m＜0，解得0＜m＜1．命題q：

y2

2

+

x2

1+4m2

=1表示焦點在y軸上的橢圓，則2＞1+4m²＞0，解得-

1

2

＜m＜

1

2

．由于p∧q是真命題，可得p，q都是真命題．求其交集即可得出．
（2）由雙曲線

x2

2

-

y2

2

=1可得漸近線y=±x．取y=x．由橢圓

y2

2

+

x2

1+4m2

=1可得焦點(0，±

1-4m2

)．
取(0，

1-4m2

)．利用點到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：（I）由命題p：m²-m＜0，解得0＜m＜1．
命題q：

y2

2

+

x2

1+4m2

=1表示焦點在y軸上的橢圓，則2＞1+4m²＞0，解得-

1

2

＜m＜

1

2

．
∴p∧q是真命題，∴p，q都是真命題．
∴

0＜m＜1 - 1 2 ＜m＜ 1 2

，解得0＜m＜

1

2

．
∴實數(shù)m的取值范圍是(0，

1

2

)．
（II）由雙曲線

x2

2

-

y2

2

=1可得漸近線y=±x．
取y=x．
由橢圓

y2

2

+

x2

1+4m2

=1可得焦點(0，±

1-4m2

)．
取(0，

1-4m2

)．
∵橢圓

y2

2

+

x2

1+4m2

=1的焦點到雙曲線

x2

2

-

y2

2

=1的漸近線的距離為

2

2

，
∴

|0- 1-4m2 |

2

=

2

2

，
解得m=0．
∴m=0．

點評：本題考查了復合命題的真假、橢圓與雙曲線的標準方程及其性質、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．