Question

已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn),是雙曲線上不同的兩個(gè)動點(diǎn).

（1）求直線與交點(diǎn)的軌跡E的方程

（2）若過點(diǎn)H(0, h)（h>1）的兩條直線和與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且，求的值.

Answer 1

[來  經(jīng)檢驗(yàn),以上所得橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)無法取到,故交點(diǎn)軌跡E的方程為

（2）設(shè)，則由知，.

將代入得，即，

若與橢圓相切,則，即;

同理若與橢圓相切,則.

由與與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)包含以下四種情況:

[1]直線與都與橢圓相切,即,且,消去得，即，

從而，即;

 [2]直線過點(diǎn),而與橢圓相切,此時(shí),解得;

[3]直線過點(diǎn),而與橢圓相切,此時(shí),解得;

[4] 直線過點(diǎn),而直線過點(diǎn),此時(shí)

綜上所述,h的值為

（注：本題第(2)問中的“只有一個(gè)交點(diǎn)”不知命題的專家們指的是相交時(shí)的唯一交點(diǎn)還是把相切時(shí)的切點(diǎn)也當(dāng)成是唯一的交點(diǎn)(嚴(yán)格地說,切點(diǎn)應(yīng)該算做兩個(gè)交點(diǎn)，只不過這兩個(gè)交點(diǎn)重合而已)，如果本題指的是嚴(yán)格意義上的交點(diǎn)，那么上述解答中只需要第四種情況，也就就是說h只能取這一個(gè)值. 如果本題將第(2)問中的“交點(diǎn)”改成“公共點(diǎn)”就不會有這種疑惑了.）