Question

已知函數(shù)f（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x．
（Ⅰ）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）若不等式(1+

1

n

)2n+a≤e²對任意的n∈N^*都成立，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析：（I）這是一個一般的函數(shù)，所以用導(dǎo)數(shù)法，即證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上的導(dǎo)數(shù)恒小于零．
（II）先將不等式(1+

1

n

)2n+a≤e²對任意的n∈N^*都成立，兩邊取自然對數(shù)，轉(zhuǎn)化為

a

2

≤

1

ln(1+ 1 n )

-n，恒成立，再用導(dǎo)數(shù)法求G(x)=

1

ln(x+1)

-

1

x

，x∈(0，1]最小值即可．

解答：解：（I）f′(x)=

2[ln(1+x)-x]

1+x

（1分）
設(shè)g（x）=ln（1+x）-x，x∈[0，1）
g′(x)=

1

1+x

-1≤0
函數(shù)g（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（0）=0，
∴f'（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立，
∴函數(shù)f（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減．（4分）
（II）不等式(1+

1

n

)2n+a≤e2等價于不等式(n+

a

2

)ln(1+

1

n

)≤1
由1+

1

n

＞1知，

a

2

≤

1

ln(1+ 1 n )

-n，（5分）
設(shè)G(x)=

1

ln(x+1)

-

1

x

，x∈(0，1]，（6分）
G′(x)=-

1

(1+x)ln2(1+x)

+

1

x2

=

(1+x)ln2(1+x)-x2

x2(1+x)ln2(1+x)

（7分）
設(shè)h（x）=（1+x）ln²（1+x）-x²（x∈[0，1]）（8分）
h'（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x，
由（I）知x∈（0，1）時，h'（x）＜h'（0）=0
∴函數(shù)h（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減，
h（x）＜h（0）=0
∴G'（x）＜0，∴函數(shù)G（x）在x∈（0，1]上單調(diào)遞減．
∴G(x)≥G(1)=

1

ln2

-1（11分）
故函數(shù)G（x）在（{0，1}]上的最小值為G（1）=

1

ln2

-1．
即

a

2

≤

1

ln2

-1，
∴a的最大值為

2

ln2

-2．（12分）

點評：本題主要通過函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題來考查用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值問題．