如圖，三棱錐P－ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA＝90°，D為PA的中點，二面角P－AC－B為120°，PC＝2，AB＝2．

(Ⅰ)求證：AC⊥BD；

(Ⅱ)求BD與底面ABC所成角的正弦值．

答案：
解析：

　　證明：解：(Ⅰ)取AC中點E，連結(jié)DE、BE，則DE∥PC，PC⊥AC，

　　∴DE⊥AC　　3分

　　又△ABC是正三角形，∴BE⊥AC，∴AC⊥平面DEB．

　　又BD平面BED，∴AC⊥BD　　7分

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)中知DE⊥AC，BE⊥AC，

　　∴∠DEB是二面角P－AC－B的平面角．

　　∴∠DEB＝120°．又AB＝2，其中線BE＝AB＝3，DE＝PC＝1．

　　∵AC⊥平面BDE，

　　又AC平面ABC，

　　∴平面ABC⊥平面BDE　　9分

　　且交線為BE，過D作平面ABC的垂線DF，垂足F必在直線BE上．

　　又∠DEB＝120°，

　　∴設(shè)F在BE延長線上，則∠DBE即為BD與底面ABC所成的角　　10分

　　又△DEB中，DB2＝DE2＋BE2－2BE·DEcos120°＝13，

　　∴BD＝．由正弦定理：，

　　∴sinDBE＝，即BD與底面ABC所成的角的正弦值為　　12分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2，AB=1，M為PC的中點．
（1）求證：平面PCB⊥平面MAB；
（2）求點A到平面PBC的距離
（3）求二面角C-PB-A的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分別交AC、PC于D、E兩點，又PB=BC，PA=AB．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若點Q是線段PA上任一點，求證：BD⊥DQ；
（Ⅲ）求線段PA上點Q的位置，使得PC∥平面BDQ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鐵嶺模擬）如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，PB=BC=CA=4，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且AF=2FP．
（1）求證：BE⊥平面PAC；
（2）求證：CM∥平面BEF；
（3）求三棱錐F-ABE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等邊三角形，E是BC中點，若PA=AB，則異面直線PE與AB所成角的余弦值（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，∠BAC=30°，BC=5，且PA=PB=PC=AC．則點P到平面ABC的距離是
5
3
5
3
．

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