Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²（ax-3），若函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，則正數(shù)a的范圍    ．

Answer 1

【答案】分析：先對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)表示出函數(shù)g（x），然后對函數(shù)g（x）求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x，確定極值點，最后求出端點值和極點值比較大小即可得到答案．
解答：解：∵f（x）=x²（ax-3）=ax³-3x²，∴f'（x）=3ax²-6x，
∴g（x）=f（x）+f′（x）=ax³+（3a-3）x²-6x
∴g'（x）=f'（x）=3ax²+6（a-1）x-6，
令g'（x）=0，方程的另個根為x_1，2=，因為a是正數(shù)，所以＜0，
即＜0，＞0
又g（0）=0，g（2）=20a-24，
當(dāng)0＜≤2時，，由于g（x）在區(qū)間[0，2]先減后增，
當(dāng)g（0）=0≥g（2）=20a-24時，a≤
∴≤a≤
當(dāng)＞2即a＜時，由于g（x）在區(qū)間[0，2]減，
顯然有g(shù)（0）=0＞g（2）=20a-24成立，解得a＜
∴a＜
綜上所述，
故答案為：
點評：本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)運算、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．導(dǎo)數(shù)是由高等數(shù)學(xué)下放到高中的內(nèi)容，是高中新增的內(nèi)容，每年必考，要引起重視．