Question

19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形．點E是棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F．
（1）求證：AB∥EF；
（2）若△PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，求PB與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明AB∥平面PCD，再利用線面平行的性質(zhì)定理證明AB∥EF；
（Ⅱ）由平面PAD⊥平面ABCD證明CD⊥平面PAD，從而證明CD⊥AF，再由CD∥EF證明AF⊥PD，AF⊥平面PCD，得出點B與點A到平面PCD的距離相等，PB與平面PCD所成角所成角正弦值為$\frac{AF}{PB}$．

解答 解：（Ⅰ）證明：因為底面ABCD是正方形，
所以AB∥CD；
又因為AB?平面PCD，CD?平面PCD，
所以AB∥平面PCD；
又因為A、B、C、D四點共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
所以AB∥EF；
（Ⅱ）在正方形ABCD中，CD⊥AD，
又因為平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以CD⊥平面PAD；
又AF?平面PAD  所以CD⊥AF，
由（Ⅰ）可知AB∥EF，
又因為AB∥CD，所以CD∥EF，
由點E是棱PC的中點，所以點F是棱PD的中點；
在△PAD中，因為PA=AD，所以AF⊥PD；
因為PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD；
又點B與點A到平面PCD的距離相等，
所以PB與平面PCD所成角所成角正弦值為$\frac{AF}{PB}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關系的應用問題，是也考查了空間角的計算問題，是綜合性題目．