Question

在半徑為1的圓內隨機地取一條弦，問其長超過圓內接等邊三角形的邊長的可能性（概率）是多少？

     

Answer 1

解法一：任何弦交圓周兩點，不失一般性先固定其中一點于圓周上，以此點為頂點作一等邊三角形，顯然只有通過此三角形內的弦才滿足要求，這種弦的另一端跑過的弧長為整個圓周的，故所求的概率為.

解法二：弦長跟它與圓心的距離有關，當且僅當它與圓心的距離小于時，其長才大于，因此所求的概率為.

解法三：弦被其中點唯一確定，當且僅當其中點屬于半徑為的同心圓時，弦長大于，此小圓的面積為大圓面積的，故概率等于.

    說明：同一問題有三種不同的答案，原因在于取弦時采用不同的等可能性假定！在第一種解法中，假定端點在圓周上均勻分布，在第二種解法則假定弦的中點在直徑上均勻分布，而在第三種解法又假定弦的中點在圓內均勻分布.這三種答案是針對三種不同的隨機試驗，對于各自的隨機試驗而言，它們都是正確的.因此在使用術語“隨機”“等可能”“均勻”時，應明確指明其含義；這又因試驗而異，須細細體會.