Question

當a為任意實數時，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P，則過點P的拋物線的標準方程是

 

．

Answer 1

分析：將已知直線為a（x+2）+（-x-y+1）=0，可得它恒過直線x+2=0與-x-y+1=0的交點P，聯解直線方程得到P的坐標為（-2，3）．再設出所求拋物線的方程，代入點P的坐標求出焦參數p的值，可得過點P的拋物線的標準方程．

解答：解：∵直線（a-1）x-y+2a+1=0化為a（x+2）+（-x-y+1）=0，
∴直線一定經過x+2=0與-x-y+1=0的交點P，
聯解

x+2=0 -x-y+1=0

，得

x=-2 y=3

，可得定點P坐標為（-2，3）．
又∵拋物線拋物線經過點P，∴拋物線的開口上或開口向左．
①當拋物線的開口左時，設其方程為y²=-2px（p＞0），
代入點P（-2，3），得3²=-2p×（-2），解之得2p=-

9

2

，得到p=

9

4

．
此時拋物線的方程為y²=-

9

2

x；
②當拋物線的開口上時，設其方程為x²=2py（p＞0），
代入點P（-2，3），得（-2）²=2p×3，解之得2p=

4

3

，得到p=

2

3

．
此時拋物線的方程為x²=

4

3

x．
綜上所述，所求拋物線的方程為y²=-

9

2

x或x²=

4

3

y．
故答案為：y²=-

9

2

x或x²=

4

3

y

點評：本題給出動直線經過定點P，求經過P點的拋物線的標準方程．著重考查了直線的方程、拋物線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．