Question

已知公比為q的等比數列{a_n}是遞減數列，且滿足a1+a2+a3=

13

9

，a1a2a3=

1

27

（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{（2n-1）•a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁a₂a₃=

1

27

及等比數列性質得a23=

1

27

，可求得a₂=

1

3

，根據等比數列的通項公式求出數列的首項和公比，然后求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法可求數列{（2n-1）•a_n}的前n項和為T_n；

解答：解：由a₁a₂a₃=

1

27

，及等比數列性質得a23=

1

27

，解得a₂=

1

3

，
由a₁+a₂+a₃=

13

9

得a₁+a₃=

10

9

由以上得

a1q= 1 3 a1+a1q= 10 9

，
∴

1+q2

q

=

10

3

，即3q²-10q+3=0，解得q=3，或q=

1

3

．
∵{a_n}是遞減數列，故q=3舍去，
∴q=

1

3

，由a₂=

1

3

，得a₁=1．
故數列{a_n}的通項公式為a_n=

1

3n-1

（n∈N^*）．
（II）由（I）知（2n-1）•a_n=

2n-1

3n-1

，
∴T_n=1+

3

3

+

5

32

+…+

2n-1

3n-1

①，

1

3

T_n=

1

3

+

3

32

++…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

②．
①-②得：

2

3

T_n=1+

2

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n-1

-

2n-1

3n

=1+2（

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n-1

）-

2n-1

3n

=1+2•

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n

=2-

1

3n-1

-

2n-1

3n

，
∴T_n=3-

n+1

3n-1

．

點評：本題主要考查等比數列的通項公式以及利用錯位相減法求數列的和，考查學生的運算求解能力，屬中檔題．