精英家教網(wǎng)A．選修4-1：幾何證明選講
銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧
AB
于點E，連接EC，求∠OEC．
B．選修4-2：矩陣與變換
曲線C1=x2+2y2=1在矩陣M=[
12
01
]的作用下變換為曲線C2，求C2的方程．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
P為曲線C1：
x=1+cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）上一點，求它到直線C2：
x=1+2t
y=2
（t為參數(shù)）距離的最小值．
D．選修4-5：不等式選講
設n∈N*，求證：
C
1
n
+
C
2
N
+L+
C
N
N
≤
n(2n-1)
．
分析：A．先連OC．由∠ABC=60°，∠BAC=40°，得出∠ACB=80°從而
BE
和
EA
的度數(shù)均為80°．故有∠EOC=80°+80°=160°最后得出：∠OEC的大小即可；
B．設P（x，y）為曲線C2上任意一點，P′（x′，y′）為曲線x2+4xy+2y2=1上與P對應的點，根據(jù)矩陣變換得出
x′=x-2y
y′=y
結(jié)合P′是曲線C1上的點，求得C2的方程即可；
C．將曲線C1化成普通方程（x-1）2+y2=1，圓心是（1，0），直線C2化成普通方程最后求出曲線C1上點到直線的距離即可；
D．由柯西不等式，得：（
C
1
n
+
C
2
N
+…+
C
N
N
）2≤（1+1+…+1）（Cn1+Cn2+…Cn2+）=n（2n-1）即可得到證明．
解答：A．選修4-1：幾何證明選講
解：連OC．∵∠ABC=60°，∠BAC=40°，∴∠ACB=80°．（4分）
∵OE⊥AB，∴E為
AB
的中點，∴
BE
和
EA
的度數(shù)均為80°．
∴∠EOC=80°+80°=160°．（8分）
∴∠OEC=10°．（10分）
B．選修4-2：矩陣與變換
解：設P（x，y）為曲線C2上任意一點，P′（x′，y′）為曲線C2上與P對應的點，
12
01
x′ 
y′ 
 =
x 
y 
，
x=x′+2y′
y=y′
∴
x′=x-2y
y′=y
（5分）
∵P′是曲線C1上的點，∴C2的方程（x-2y）2+y2=1．（10分）
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
解：將曲線C1化成普通方程（x-1）2+y2=1，圓心是（1，0），
直線C2化成普通方程是y-2=0，則圓心到直線的距離為2．（5分）
∴曲線C1上點到直線的距離為1，該點為（1，1）．（10分）
D．選修4-5：不等式選講
證明：由柯西不等式，得：
（
C
1
n
+
C
2
N
+…+
C
N
N
）2≤（1+1+…+1）（Cn1+Cn2+…Cn2+）=n（2n-1）
∴
C
1
n
+
C
2
N
+…+
C
N
N
≤
n(2n-1)
．
點評：本題考查柯西不等式，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，幾種特殊的矩陣變換，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)A（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，AB是⊙O的直徑，C，F(xiàn)是⊙O上的兩點，OC⊥AB，過點F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點D，連接CF交AB于點E．
求證：DE2=DB•DA．
B（選修4-2：矩陣與變換）
求矩陣
21
12
的特征值及對應的特征向量．
C（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）
已知曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ，直線l的參數(shù)方程是
x=-
3
5
t+2
y=
4
5
t
（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與x軸的交點是M，N是曲線C上一動點，求MN的最大值．
D（選修4-5：不等式選講）
已知m＞0，a，b∈R，求證：(
a+mb
1+m
)2≤
a2+mb2
1+m
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選做題：在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，PA切⊙O于點A，D為PA的中點，過點D引割線交⊙O于B、C兩點．求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
設M=
.
10
02
.
，N=
.
1
2
0
01
.
，試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（A）選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點，割線PCD經(jīng)過圓心交⊙O于C，D兩點，若PA=2，AB=4，PO=5，則⊙O的半徑長為
13
13
．

（B）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
參數(shù)方程
x=
1
2
(et+e-t)
y=
1
2
(et-e-t)
中當t為參數(shù)時，化為普通方程為
x2-y2=1（x≥1）
x2-y2=1（x≥1）
．
（C）選修4-5：不等式選講
不等式|2-x|+|x+1|≤a對于任意x∈[0，5]恒成立的實數(shù)a的集合為
{a|a≥9}
{a|a≥9}
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．
請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講如圖，AD是∠BAC的平分線，⊙O過點A且與BC邊相切于點D，與AB，AC分別交于E，F(xiàn)，求證：EF∥BC．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知a，b∈R，若矩陣M=[
-1
b
a
3
]所對應的變換把直線l：2x-y=3變換為自身，求a，b的值．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程將參數(shù)方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
t為參數(shù)）化為普通方程．
D．選修4-5：已知a，b是正數(shù)，求證（a+
1
b
）（2b+
1
2a
）≥92．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從A，B，C，D四個中選做2個A．選修4-1（幾何證明選講）
如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點，CD切半圓于點D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是OB的中點，求BC的長．
B．選修4-2（矩陣與變換）
將曲線xy=1繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，求所得曲線的方程．
C．選修4-4（坐標系與參數(shù)方程）
求直線
x=1+2t
y=1-2t
（t為參數(shù)）被圓
x=3cosa
y=3sina
（α為參數(shù)）截得的弦長．
D．選修4-5（不等式選講）
已知x，y均為正數(shù)，且x＞y，求證：2x+
1
x2-2xy+y2
≥2y+3．

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