設(shè)a，b，c是互不相等的正數(shù)，則在四個不等式：
（1）|a-b|≤|a-c|+|b-c|；     
（2）a2+
1
a2
≥a+
1
a
；
（3）|a-b|+
1
a-b
≥2；         
（4）
a+3
-
a+1
≤
a+2
-
a

其中恒成立的有
（1）（2）（4）
（1）（2）（4）
（把你認為正確的答案的序號都填上）
分析：本題主要考查不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全題干，必須結(jié)合選擇支，才能得出正確的結(jié)論．可運用排除法．
解答：解：（1）：|a-b|=|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|=|a-c|+|b-c|，故（1）恒成立
（2）：由于由于函數(shù)f（x）=x+
1
x
在（0，1]單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增
當a＞1時，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即，a2+
1
a2
＞a+
1
a
，
當0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即a2+
1
a2
＞a+
1
a
，
當a=1，a2+
1
a2
＞a+
1
a
．
故（2）恒成立；
（3）：若a-b=-1，則該不等式不成立，故（3）不恒成立；
（4）：由于
a+3
-
a+1
=
2
a+3
+
a+1
＜
2
a+2
+
a
=
a+2
-
a
．故C恒成立．
故答案為 （1）（2）（4）
點評：本題主要考查了不等式比較大小，基本不等式的應用放縮法證明不等式等．要靈活運用公式，牢記公式a2+b2≥2ab成立的條件．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2013屆安徽省高二下學期期中考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).若用反證法證明三個方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.

【解析】本試題主要考查了二次方程根的問題的綜合運用。運用反證法思想進行證明。

先反設(shè)，然后推理論證，最后退出矛盾。證明：假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根，

則Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0

相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，

（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.顯然不成立。

證明：假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根，

則Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.

相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，

（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.                                      ①

由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.

∴假設(shè)不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)a、b、c是互不相等的非零實數(shù),試證:三個方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有一個方程有兩個相異實根.

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