如圖，在三棱錐A－BCD中，側面ABD、 ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側面是正三角形.

（1）   求證：AD^BC;

（2）   求二面角B－AC－D的大小;

（3）   在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解法一：

（1）   取BC的中點O，連AO、DO

則有AO^BC，DO^BC，\BC^面AOD

\BC^AD………………3分

（2）   作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，則ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，………………4分

因為AB＝AC＝BC＝

\M是AC的中點，且MN¤¤CD，

則BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，………………6分

由余弦定理可求得cosÐBMN＝

\ÐBMN＝arccos………………7分

（3）   設E是所求的點，作EF^CBD于F，連FD

\ ÐEDF就是ED與面BCD所成的角，………………8分

則ÐEDF＝30°  設EF＝x，則CF＝x，F(xiàn)D＝，………………10分

\tanÐEDF＝＝＝

解得x＝，則CE＝x＝1

故線段AC上存在E點，且CE＝1時，ED與面BCD成30°角  ………………12分

解法二：此題也可用空間向量求解，解答略

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐A-BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=
3
，BD=CD=1，另一個側面是正三角形．
（1）求證：AD⊥BC．
（2）求二面角B-AC-D的大小．
（3）在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐A-BOC中，AO⊥底面BOC，∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，BC=2
2
，動點D在線段AB上．
（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）當點D運動到線段AB的中點時，求二面角D-CO-B的大�。�
（Ⅲ）當CD與平面AOB所成角最大時，求三棱錐C-OBD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AD=2，點E在BC上，且AE⊥AC．
（Ⅰ）求證：AC⊥DE；
（Ⅱ）求點B到平面ACD的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐A-BOC中，AO⊥面BOC，二面角B-AO-C是直二面角，OB=OC，∠OAB=
π6
，斜邊AB=4，動點D在斜邊AB上．
（1）求證：平面COD⊥平面AOB；
（2）當D為AB的中點時，求：異面直線AO與CD所成角大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐A-BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=
3
，BD=CD=1，另一個側面是正三角形
（1）求證：AD⊥BC
（2）求二面角B-AC-D的大�。�

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