Question

11．已知x，y∈[0，π]，則cos（x+y）+cosx+2cosy的最小值為-2.25．

Answer 1

分析 利用兩角和與差的公式以及輔助角公式，通過(guò)三角函數(shù)的有界限可得答案．

解答 解：令S=cos（x+y）+cosx+2cosy
=cosxcosy-sinxsiny+cosx+2cosy
=cosx+（cosx+2）cosy-sinxsiny
=cosx+$\sqrt{5+4cosx}sin（y+$θ）
∴S≥cosx-$\sqrt{5+4cosx}$
令：t=$\sqrt{5+4cosx}$，3≥t≥1，則cosx=${\frac{1}{4}（t}^{2}-5）$
故S≥${\frac{1}{4}（t}^{2}-5）$-t=$\frac{1}{4}（t-2）^{2}-\frac{9}{4}$，（3≥t≥1）
當(dāng)t=2時(shí)，S取得最小值為：$-\frac{9}{4}$．
∴即cos（x+y）+cosx+2cosy的最小值為：$-\frac{9}{4}$．
故答案為：-2.25．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了利用兩角和與差的公式以及輔助角公式，三角函數(shù)的有界限的運(yùn)用．屬于中檔題．