Question

(12分)已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，求的反函數(shù)；
(2)求關(guān)于的函數(shù)當(dāng)時(shí)的最小值；
(3)我們把同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱為“和諧函數(shù)”：①函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823162504049425.gif" style="vertical-align:middle;" />.
(Ⅰ)判斷(2)中是否為“和諧函數(shù)”？若是，求出的值或關(guān)系式；若不是，請(qǐng)說明理由；
(Ⅱ)若關(guān)于的函數(shù)是“和諧函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）     (或)
（2）

解：(1)
(2)由已知得：
令，則 ，
1)當(dāng)時(shí)，
2)當(dāng)時(shí)，，
(3)(Ⅰ)對(duì)(2)中，易知在上為減函數(shù)，
1)若時(shí)，遞減，若是“和諧函數(shù)”，
則與矛盾；
2)若時(shí)，恒等.
此時(shí)滿足題意，所以這樣的存在；
3)若，則
.
     (或)
(Ⅱ)在上單增，由“和諧函數(shù)”的定義知：該函數(shù)在定義域內(nèi)，存在區(qū)間，使得該函數(shù)在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823162504049425.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以， ，為方程的二實(shí)根，
即方程在上存在兩個(gè)不等的實(shí)根，且恒成立，
令，