Question

已知f（x）是定義在集合D上的函數(shù)，且-1＜f′（x）＜0．
（1）若，在[]（[]⊆D）上的最大值為，試求不等式|ax+1|＜a的解集．
（2）若對(duì)于定義域中任意的x₁，x₂，存在正數(shù)ε，使|x₁-1|＜且|x₂-1|＜，求證：|f（x₁）-f（x₂）|＜ε．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最大值，進(jìn)而得到a的值，解出不等式即可；
（2）不妨設(shè)x₁＜x₂，令g（x）=f（x）+x，由已知得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得到，又由函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得到?，即得證．
解答：解：（1）由于f′（x）＜0，則函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，
故=，解得a=
則原不等式為，解之得-5＜x＜-3
故原不等式的解集為（-5，-3）；
（2）不妨設(shè)x₁＜x₂，令g（x）=f（x）+x
由于f′（x）＞-1，故g′（x）=f′（x）+1＞0，則函數(shù)g（x）為其定義域上的增函數(shù)，
即，亦即，
則
又由函數(shù)f（x）在D上遞減，則
故
∵=+=?
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．