Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥AD，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)．
求證：
（1）BC∥平面EFG；
（2）平面EFG⊥平面PAB．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證BC∥平面EFG，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證BC與平面EFG內(nèi)直線平行，而EF∥BC，BC?平面EFG，EF?平面EFG，滿足定理?xiàng)l件；
（2）欲證平面EFG⊥平面PAB，只需證明EF⊥平面PAB即可，PA⊥EF，AB⊥EF，PA∩AB=A即可證明．
解答：（1）證明：∵E，F(xiàn)分別是線段PA、PD的中點(diǎn)，∴EF∥AD．…（2分）
又∵ABCD為正方形，∴BC∥AD，∴EF∥BC．…（4分）
又∵BC?平面EFG，EF?平面EFG，
∴BC∥平面EFG．…（6分）
（2）證明：∵PA⊥AD，又EF∥AD，
∴PA⊥EF．…（8分）
又ABCD為正方形，∴AB⊥EF，
又PA∩AB=A，∴EF⊥平面PAB，…（10分）
又EF?平面EFG，
∴平面EFG⊥平面PAB．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．