Question

設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件
（1）求目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值與最大值．
（2）求目標(biāo)函數(shù)z=-4x+3y-24的最小值與最大值．

Answer 1

解：（1）作出可行域（如圖A陰影部分）．
令z=0，作直線(xiàn)l：2x+3y=0．
當(dāng)把直線(xiàn)l向下平移時(shí)，所對(duì)應(yīng)的z=2x+3y的值隨之減小，所以，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)B時(shí)，z=2x+3y取得最小值．
從圖中可以看出，頂點(diǎn)B是直線(xiàn)x=-3與直線(xiàn)y=-4的交點(diǎn)，其坐標(biāo)為（-3，-4）；
當(dāng)把l向上平移時(shí)，所對(duì)應(yīng)的z=2x+3y的值隨之增大，所以直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)D時(shí)，z=2x+3y取得最大值．
頂點(diǎn) D是直線(xiàn)-4x+3y=12與直線(xiàn)4x+3y=36的交點(diǎn)，
解方程組，可以求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，8）．
所以z_min=2×（-3）+3×（-4）=-18，z_max=2×3+4×8=38．
（2）可行域同（1）（如圖B陰影部分）．
作直線(xiàn)l₀：-4x+3y=0，把直線(xiàn)l₀向下平移時(shí)，
所對(duì)應(yīng)的z=-4x+3y的值隨之減小，即z=-4x+3y-24的值隨之減小，
從圖B可以看出，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域頂點(diǎn)C時(shí)，z=-4x+3y-24取得最小值．
頂點(diǎn)C是直線(xiàn)4x+3y=36與直線(xiàn)y=-4的交點(diǎn)，
解方程組得到頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（12，-4），
代入目標(biāo)函數(shù)z=-4x+3y-24，得z_min=-4×12+3×（-4）-24=-84．
由于直線(xiàn)l₀平行于直線(xiàn)-4x+3y=12，
因此當(dāng)把直線(xiàn)l₀向上平移到l₁時(shí)，l₁與可行域的交點(diǎn)不止一個(gè)，
而是線(xiàn)段AD上的所有點(diǎn)．此時(shí)z_max=12-24=-12．
分析：（1）可分成三個(gè)步驟：①作出可行域，②z為目標(biāo)函數(shù)縱截距的三分之一，③畫(huà)直線(xiàn)2x+3y=0，平移直線(xiàn)觀察最值．
（2）類(lèi)似于（1），畫(huà)直線(xiàn)l₀：-4x+3y=0，平移直線(xiàn)觀察目標(biāo)函數(shù)z=-4x+3y-24的最小值與最大值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式中的線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)，畫(huà)出平面區(qū)域與正確理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解答好本題的關(guān)鍵．