Question

已知圓O:交軸于A，B兩點,曲線C是以為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點為F．若P是圓O上一點連結(jié)PF,過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的左準線于點Q．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若點P的坐標為(1,1),求證:直線PQ與圓相切；

(3)試探究:當點P在圓O上運動時(不與A、B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請證明；若不是,請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）橢圓的標準方程為

（2）因為(1,1),所以,所以,所以直線OQ的方程為y=－2x

又橢圓的左準線方程為x=－2,所以點Q(,4)

所以,又,所以,即,故直線與圓相切

（3）當點在圓上運動時,直線與圓保持相切          

【解析】本題重點考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，解題時要認真審題，合理運用橢圓的幾何性質(zhì)．

(1)根據(jù)已知條件得到a,b的關(guān)系，進而求解得到c=1，由此能得到橢圓C的標準方程；

（2）直線PQ的方程為：y=-（x-1）+1，即x+y-2=0，利用點O到直線PQ的距離，可證直線PQ與圓O相切．

（3）假設(shè)存在，當點在圓上運動時,直線與圓保持相切，那么利用相切時斜率的關(guān)系得到坐標關(guān)系進而證明