Question

已知

2

sinx+

2

cosx=

8

5

，且

π

4

＜x＜

π

2

，求

sin2x(1+tanx)

1-tanx

的值．

Answer 1

分析：已知等式左邊提取2變形后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡求出cos（x-

π

4

）的值，根據(jù)x的范圍求出這個角的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin（x-

π

4

）的值，進(jìn)而確定出tan（x-

π

4

）的值，確定出tan（x+

π

4

）的值，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式求出sin2x的值，所求式子利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：∵

2

sinx+

2

cosx=2cos（x-

π

4

）=

8

5

，
∴cos（x-

π

4

）=

4

5

，
∵

π

4

＜x＜

π

2

，
∴0＜x-

π

4

＜

π

4

，
∴sin（x-

π

4

）=

1-cos2(x- π 4 )

=

3

5

，tan（x-

π

4

）=

3

4

，
∴tan（x+

π

4

）=-cot（x-

π

4

）=-

4

3

，
sin2x=cos（2x-

π

2

）=2cos²（x-

π

4

）-1=

7

25

，
∴

sin2x(1+tanx)

1-tanx

=sin2x•tan（x+

π

4

）=

7

25

×（-

4

3

）=-

28

75

．

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正切函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．