如圖,A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是
3
4

(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
( 2)是否存在斜率為l直線l與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),且使△OPQ的面積等于
12
7
?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
分析:(1)設(shè)出M的坐標(biāo),利用直線AM,BM的斜率之積是
3
4
,建立方程,即可得到點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)出直線方程代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及△OPQ的面積等于
12
7
,建立方程,即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)設(shè)M(x,y),則由條件可得
y
x+2
y
x-2
=-
3
4

整理可得
x2
4
+
y2
3
=1(x≠±2)
;
(2)假設(shè)存在滿足條件的直線l,其方程為y=x+m,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2
直線方程代入橢圓方程,消去y可得7x2+8mx+4m2-12=0
∴x1+x2=-
8m
7
x1x2=
4m2-12
7

由△=64m2-28(4m2-12)>0可得m2<7
∴|PQ|=
2(x1-x2)2
=
4
2
7
×
21-3m2

∵圓的O到直線l的距離d=
|m|
2

1
2
×
4
2
7
×
21-3m2
×
|m|
2
=
12
7

∴m=±
3
或m=±2,滿足m2<7
∴存在滿足條件的直線l,其方程為y=x±
3
或y=x±2.
點(diǎn)評:本題考查軌跡方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查三角形面積的計算,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•溫州二模)如圖.直線l:y=kx+1與橢圓C1
x2
16
+
y2
4
=1
交于A,C兩點(diǎn),A.C在x軸兩側(cè),B,
D是圓C2:x2+y2=16上的兩點(diǎn).且A與B.C與D的橫坐標(biāo)相同.縱坐標(biāo)同號.
(I)求證:點(diǎn)B縱坐標(biāo)是點(diǎn)A縱坐標(biāo)的2倍,并計算||AB|-|CD||的取值范圍;
(II)試問直線BD是否經(jīng)過一個定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo):若不是,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆河北省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(B卷) 題型:選擇題

如圖,設(shè)是單位圓和軸正半軸的交點(diǎn),是單位圓上的兩點(diǎn),是坐

標(biāo)原點(diǎn),,,,則的范圍為  (    )

 

(A)(B) .(C) .  (D). 

 

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆河北省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(A卷) 題型:選擇題

如圖,設(shè)是單位圓和軸正半軸的交點(diǎn),是單位圓上的兩點(diǎn),是坐

標(biāo)原點(diǎn),,,,則的范圍為  (    )

 

(A)(B) .(C) .  (D).       

 

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