Question

設(shè)點(diǎn)P是橢圓

x2

49

+

y2

24

=1上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF₁|=6，則|OP|長(zhǎng)為（　�。�

• A、5
• B、10
• C、8
• D、7

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的方程算出2a=14，焦點(diǎn)為F₁（-5，0）、F₂（-5，0）．由橢圓的定義算出|PF₂|=2a-|PF₁|=8，在△PF₁F₂中利用余弦定理得算出∠F₁PF₂=

π

2

，從而得出OP是Rt△F₁PF₂的斜邊上的中線，可得|OP|=

1

2

|F₁F₂|=5．

解答：解：∵橢圓

x2

49

+

y2

24

=1中，a²=49，b²=24，
∴a=7，c=

a2-b2

=5，可得F₁（-5，0）、F₂（-5，0）．
又∵|PF₁|=6，∴根據(jù)橢圓的定義，可得|PF₂|=2a-|PF₁|=14-6=8．
∵|F₁F₂|=2c=10，
∴△PF₁F₂中，根據(jù)余弦定理得cos∠F₁PF₂=

62+82-102

2×6×8

=0，
結(jié)合∠F₁PF₂∈（0，π），得∠F₁PF₂=

π

2

，
因此，OP是Rt△F₁PF₂的斜邊上的中線，可得|OP|=

1

2

|F₁F₂|=5．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離，求P到中心0的距離．著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、余弦定理與直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．