Question

某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖1；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2（注：利潤(rùn)和投資單位：萬(wàn)元）．
（1）分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知該企業(yè)已籌集到18萬(wàn)元投資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．
①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤(rùn)？
②問：如果你是廠長(zhǎng)，怎樣分配這18萬(wàn)元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？

Answer 1

解：（1）設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別投資x萬(wàn)元（x≥0），所獲利潤(rùn)分別為f（x）、g（x）萬(wàn)元，
由題意可設(shè)f（x）=k₁x，g（x）=k₂，
∴根據(jù)圖象f（1）=0.25，g（4）=4
∴f（x）=0.25x（x≥0），g（x）=2（x≥0）．…2′
（2）①由（1）得f（9）=2.25，g（9）=2=6，∴總利潤(rùn)y=8.25（萬(wàn)元）．….4′
②設(shè)B產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，A產(chǎn)品投入（18-x）萬(wàn)元，該企業(yè)可獲總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，
則y=（18-x）+2，0≤x≤18…..6′
令=t，t∈[0，3]，則y=（-t²+8t+18）=-（t-4）²+．…8′
∴當(dāng)t=4時(shí)，y_max==8.5，此時(shí)x=16，18-x=2．
∴當(dāng)A、B兩種產(chǎn)品分別投入2萬(wàn)元、16萬(wàn)元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)8.5萬(wàn)元．…9′
分析：（1）設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)圖象f（1）=0.25，g（4）=4，即可求得結(jié)論；
（2）①利用（1）的結(jié)論，可得總利潤(rùn)；②確定總利潤(rùn)函數(shù)，換元，利用配方法，可求最值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．