Question

已知二次函數f（x）的圖象過點（0，4），對任意x滿足f（3-x）=f（x），且有最小值是

7

4

．g（x）=2x+m．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 求函數h（x）=f（x）-（2t-3）x在區(qū)間[0，1]上的最小值，其中t∈R；
（Ⅲ）設f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[p，q]上的兩個函數，若函數F（x）=f（x）-g（x）在x∈[p，q]上有兩個不同的零點，則稱f（x）和g（x）在[p，q]上是“關聯函數”，區(qū)間[p，q]稱為“關聯區(qū)間”．若f（x）與g（x）在[0，3]上是“關聯函數”，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題知，可設f（x）=a (x-

3

2

)2+

7

4

，根據圖象過點（0，4），求得a=1的值，可得函數的解析式．
（Ⅱ）由于h（x）=（x-t）²+4-t²，其對稱軸為x=t．分①當t≤0時、②當0＜t＜1時、③當t≥1時三種情況，分別利用單調性求得函數的最小值．
（Ⅲ）由題意可得函數F（x）=x²-5x+4-m在[0，3]上有兩個不同的零點，由

△=(-5)2-4(4-m)＞0 F(0)=02-5×0+4-m F(3)=32-5×3+4-m

，求得m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題知，二次函數圖象的對稱軸為x=

3

2

，又最小值是

7

4

，
則可設f（x）=a (x-

3

2

)2+

7

4

，又圖象過點（0，4），
則a (0-

3

2

)2+

7

4

=4，解得a=1，
故f（x）=(x-

3

2

)2+

7

4

=x²-3x+4．
（Ⅱ）h（x）=f（x）-（2t-3）x=x²-2tx+4=（x-t）²+4-t²，其對稱軸為x=t．
①當t≤0時，函數在[0，1]上單調遞增，最小值為h（0）=4；
②當0＜t＜1時，函數的最小值為h（n）=4-t²；
③當t≥1時，函數在[0，1]上單調遞減，最小值為h（1）=5-2t．
（Ⅲ）若函數f（x）=x²-3x+4與g（x）=2x+m在[0，3]上是“關聯函數”，
則函數F（x）=f（x）-g（x）=x²-5x+4-m在[0，3]上有兩個不同的零點，
則

△=(-5)2-4(4-m)＞0 F(0)=02-5×0+4-m F(3)=32-5×3+4-m

，解得-

9

4

＜m≤-2，
即m的范圍為[-

9

4

，-2]．

點評：本題主要考查用待定系數法求函數的解析式，求二次函數在閉區(qū)間上的最值，函數的零點的定義和求法，屬于
中檔題．