Question

若拋物線y²=2px（p＞0）上有一點M，其橫坐標為8，它到焦點的距離為9，
（1）求焦點F的坐標
（2）并求直線MF的方程．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的定義，結合題意建立關于p的等式解出p=2，即可得出焦點F的坐標；
（2）利用（1）中求出的拋物線方程，算出M的坐標為（8，±4

2

），進而得到直線MF的斜率，根據直線方程的點斜式方程列式，化簡即可得到直線MF的方程．

解答：解：（1）拋物線y²=2px的焦點坐標為F（

p

2

，0），準線為x=-

p

2

．
∵點M橫坐標為8，到焦點的距離為9，
∴根據拋物線的定義，可得MF=8+

p

2

=9，解得p=2．
因此，拋物線的焦點坐標為F（1，0）．
（2）由（1）得拋物線方程為y²=4x，
設M（8，y₀），得y₀²=4×8=32，得y₀=±4

2

∴M坐標為（8，±4

2

），直線MF的斜率k=

±4 2 -0

8-1

=±

4 2

7

．
直線MF的方程方程為y=±

4 2

7

（x-1），
化簡得y=

4 2

7

x-

4 2

7

或y=-

4 2

7

x+

4 2

7

．

點評：本題給出拋物線滿足的條件，求拋物線方程并依此求直線方程．著重考查了拋物線的定義與標準方程、直線的基本量與基本形式等知識，屬于中檔題．